An invitation to statistics in Wasserstein space

Abstract

Cuốn sách truy cập mở này trình bày các khía cạnh chính của thống kê trong không gian Wasserstein, tức là thống kê trong không gian đo xác suất khi được cung cấp hình học của phương tiện vận chuyển tối ưu. Ngoài việc xem xét các khía cạnh tiên tiến nhất, nó còn cung cấp phần giới thiệu dễ tiếp cận về các nguyên tắc cơ bản của chủ đề hiện tại này, cũng như một cái nhìn tổng quan sẽ đóng vai trò là lời mời và chất xúc tác cho nghiên cứu sâu hơn. Thống kê trong không gian Wasserstein đại diện cho một chủ đề mới nổi trong thống kê toán học, nằm ở giao diện giữa phân tích dữ liệu chức năng (trong đó dữ liệu là các hàm, do đó nằm trong không gian Hilbert vô hạn chiều) và thống kê phi Euclide (trong đó dữ liệu thỏa mãn các ràng buộc phi tuyến, do đó nằm trong trên các đa tạp phi Euclide). Không gian Wasserstein cung cấp hình thức toán học tự nhiên để mô tả các bộ sưu tập dữ liệu được mô hình hóa tốt nhất dưới dạng các phép đo ngẫu nhiên trên không gian Euclide (ví dụ: hình ảnh và quy trình điểm). Các thước đo ngẫu nhiên như vậy mang các đặc điểm vô hạn của dữ liệu chức năng, nhưng về bản chất là phi tuyến tính do các hạn chế về tính tích cực và khả năng tích hợp. Thật vậy, sự biến đổi thống kê nổi bật của chúng phát sinh thông qua sự biến dạng ngẫu nhiên của một khuôn mẫu cơ bản, một chủ đề được theo đuổi sâu sắc trong chuyên khảo này.