Measure, integration & real analysis

Abstract

Sách giáo khoa truy cập mở này chào đón sinh viên đến với lý thuyết cơ bản về đo lường, tích hợp và phân tích thực tế. Tập trung vào cách tiếp cận dễ tiếp cận, Axler đặt nền móng cho nghiên cứu sâu hơn bằng cách thúc đẩy sự hiểu biết sâu sắc về các kết quả chính. Nội dung được tuyển chọn cẩn thận để phù hợp với một khóa học hoặc chuỗi các khóa học kéo dài hai học kỳ, tạo ra điểm khởi đầu linh hoạt cho các nghiên cứu sau đại học trong tất cả các lĩnh vực toán học thuần túy và toán ứng dụng. Được thúc đẩy bởi một đánh giá ngắn gọn về tích hợp Riemann và những thiếu sót của nó, văn bản bắt đầu bằng cách đưa sinh viên vào các khái niệm về đo lường và tích phân. Độ đo Lebesgue và độ đo trừu tượng được phát triển cùng nhau, mỗi độ đo cung cấp cái nhìn sâu sắc quan trọng về các ý chính của cách tiếp cận kia. Tích hợp Lebesgue liên kết với các kết quả như Định lý vi phân Lebesgue. Sự phát triển của tích của các độ đo trừu tượng dẫn đến độ đo Lebesgue trên Rn. Các chương về không gian Banach, không gian Lp và không gian Hilbert cho thấy các kết quả chính như Định lý Hahn–Banach, Bất đẳng thức Hölder và Định lý biểu diễn Riesz. Một nghiên cứu chuyên sâu về bản đồ tuyến tính trên không gian Hilbert đạt đến đỉnh cao trong Định lý quang phổ và Phân rã giá trị số ít dành cho các toán tử nhỏ gọn, với phần xen kẽ tùy chọn trong các phép đo thực và phức tạp. Dựa trên vật liệu không gian Hilbert, một chương về phân tích Fourier cung cấp phần giới thiệu vô giá về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Chương cuối cùng mang đến hương vị của xác suất. Được kiểm tra rộng rãi trong lớp tại nhiều trường đại học và được viết bởi một nhà giải thích toán học từng đoạt giải thưởng, Đo lường, Tích phân & Phân tích Thực tế là một nguồn tài nguyên lý tưởng cho sinh viên khi bắt đầu hành trình vào ngành toán sau đại học.