Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

Tr-êng ®¹i häc b¸ch khoa Hµ néi

-------------------------------------------

®µo h¶i tïng

wavelet vµ øng dông cña wavelet

Chuyªn ngµnh: ®iÖn tö – viÔn th«ng

LuËn v¨n th¹c sÜ: ®iÖn tö – viÔn th«ng

ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

PGS.ts nguyÔn quèc trung

hµ néi – 11/2004

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Danh môc c¸c ch÷ viÕt t¾t

***

• DSP - Digital Signal Processing : xö lý tÝn hiÖu b»ng ph-¬ng ph¸p

sè

• ASP - Analog Signal Processing : xö lý tÝn hiÖu b»ng ph-¬ng ph¸p

t-¬ng tù

• STFT- Short Time Fourier Transform : BiÕn ®æi Furiª thêi gian

ng¾n

• DPWT – Discrete Parameter Wavelet Transform : BiÕn ®æi

Wavelet rêi r¹c

• EZW – Embedded Zerotree Wavelet: M· ho¸ Wavelet c©y zªro

g¾n liÒn

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Danh môc h×nh vÏ ®å thÞ

***

Trang

H×nh 1.1: C¸c hµm c¬ së cña STFT ..................................................................... 7

H×nh 1.2: C¸c hµm c¬ së cña Wavelet ................................................................ 8

H×nh 1.3: TÝnh chÊt dÞch cña biÕn ®æi Wavelet liªn tôc ...................................... 11

H×nh 1.4: TÝnh chÊt tû lÖ víi hÖ sè tû lÖ b»ng 2 .................................................. 11

H×nh 1.5: TÝnh côc bé vÒ thêi gian ...................................................................... 13

H×nh 1.6: TÝnh côc bé cña biÕn ®æi Wavelet liªn tôc

sö dông Wavelet sinc........................................................................... 14

H×nh 1.7: Wavelet Morlet .................................................................................... 16

H×nh 1.8: L-íi lÊy mÉu ....................................................................................... 17

H×nh 2.1: H×nh chiÕu trùc giao vµo 1 kh«ng gian con ........................................ 25

H×nh 2.2: LÊy mÉu gi¶n 3 trong miÒn tÇn sè ....................................................... 29

H×nh 2.3: Thay ®æi tèc ®é lÊy mÉu ...................................................................... 30

H×nh 2.4: C¸c s¬ ®å t-¬ng ®-¬ng khi thay ®æi tèc ®é lÊy mÉu ........................... 31

H×nh 2.5: BiÕn ®æi ®a pha .................................................................................... 32

H×nh 2.6: Vïng phñ trong mÆt ph¼ng thêi gian-tÇn sè ........................................ 33

H×nh 2.7: C¸c phÐp to¸n c¬ b¶n ®èi víi 1 hµm c¬ së ......................................... 34

H×nh 2.8: Tû lÖ vµ c¸c ®é ph©n gi¶i trong c¸c d·y rêi r¹c ................................... 35

H×nh 3.1: B¨ng läc 2 kªnh ................................................................................... 41

H×nh 3.2: Ph©n tÝch trong miÒn biÕn ®æi cña b¨ng läc 2 kªnh ............................ 47

H×nh 3.3: Ph©n tÝch trong miÒn ®a pha ................................................................ 49

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

H×nh 3.4: B¨ng läc Octave J tÇng ........................................................................ 50

H×nh 3.5: B¨ng läc tæng hîp b¨ng Octave 3 tÇng víi c¸c bé läc Haar ............... 52

H×nh 3.6: L-íi lÊy mÉu nhÞ nguyªn sö dông trong c¸c chuçi

Wavelet rêi r¹c .................................................................................... 54

H×nh 3.7: Sù ph©n chia lý t-ëng cña phæ bëi c¸c chuçi

Wavelet rêi r¹c sö dông c¸c b¨ng läc sinc .......................................... 56

H×nh 3.8: TÊt c¶ c¸c kÕt hîp cña b¨ng läc cÊu tróc c©y cã ®é s©u lµ 2 ............... 57

H×nh 3.9: Ph©n tÝch thêi gian-tÇn sè ®èi víi c¸c c©y b¨ng con

nhÞ ph©n kh¸c nhau.............................................................................. 57

H×nh 3.10: B¨ng läc ph©n tÝch/tæng hîp N kªnh lÊy mÉu gi¶m

tíi h¹n bëi N ...................................................................................... 60

H×nh 3.11: B¨ng läc lÊy mÉu d- .......................................................................... 61

H×nh 3.12: S¬ ®å h×nh th¸p bao gåm 1 xÊp xØ th«ng thÊp d¹ng th« vµ phÇn sai

kh¸c gi÷a d¹ng th« vµ tÝn hiÖu gèc ................................................... 62

H×nh 3.13: B¨ng läc ®éc lËp trong kh«ng gian 2 chiÒu víi lÊy

mÉu gi¶m 2 ®éc lËp ........................................................................... 63

H×nh 3.14: 2 l-íi lÊy mÉu th-êng sö dông .......................................................... 64

H×nh 4.1: C¬ së Haar .......................................................................................... 69

H×nh 4.2: Ph©n tÝch Wavelet Haar cña 1 hµm liªn tôc ph©n ®o¹n ....................... 71

H×nh 4.3: Hµm tØ lÖ vµ Wavelet Haar .................................................................. 79

H×nh 4.4: Ph©n tÝch V

0

vµo trong c¸c b¨ng Octave liªn tiÕp .............................. 80

H×nh 4.5: Hµm tû lÖ vµ Wavelet trong tr-êng hîp sinc....................................... 81

H×nh 4.6: CÊu tróc cña Wavelet Meyer ............................................................... 81

H×nh 4.7: Minh häa ............................................................................................ 82

H×nh 4.8: Minh häa ............................................................................................. 83

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

H×nh 4.9: Hµm tû lÖ vµ Wavelet Meyer .............................................................. 84

H×nh 4.10: B¨ng läc lËp l¹i t¹i kªnh th«ng thÊp .................................................. 85

H×nh 4.11: §¸p øng biªn ®é tÇn sè cña 1 b¨ng läc lËp l¹i 3 b-íc víi c¸c bé läc

th«ng cao vµ th«ng thÊp lý t-ëng ...................................................... 87

H×nh 4.12: LÊy mÉu nhÞ nguyªn cña mÆt ph¼ng thêi gian-tÇn sè trong khai triÓn

chuçi Wavelet .................................................................................... 94

H×nh 4.13: Minh häa ........................................................................................... 94

H×nh 4.14: TÝnh to¸n ®èi víi c¸c hÖ sè chuÈn Wavelet....................................... 98

H×nh 5.1: Qu¶ng b¸ sè ......................................................................................... 106

H×nh 5.2: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c hÖ sè Wavelet t¹i c¸c b¨ng con kh¸c nhau ...... 109

H×nh 5.3: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c hÖ sè Wavelet t¹i c¸c b¨ng con kh¸c nhau vµ

c¸ch thøc quÐt chóng ........................................................................... 111

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Môc lôc

Trang

Trang phô b×a

Môc lôc

Danh môc c¸c ch÷ viÕt t¾t

Danh môc c¸c h×nh vÏ, ®å thÞ

Lêi më ®Çu ................................................................................................. 1

Ch-¬ng 1 – Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n cña Wavelet .................................. 3

1.1 BiÕn ®æi Furier .................................................................................. 3

1.1.1 BiÕn ®æi Furier vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã ....................................... 3

1.1.2 BiÕn ®æi Furier thêi gian ng¾n(STFT) ......................................... 6

1.2 BiÕn ®æi Wavelet ............................................................................... 8

1.2.1BiÕn ®æi Wavelet liªn tôc ............................................................. 8

1.2.2BiÕn ®æi Wavelet rêi r¹c .............................................................. 16

Ch-¬ng 2 – Nh÷ng nguyªn t¾c c¬ b¶n cña ph©n tÝch tÝn hiÖu ................. 18

2.1 Kh«ng gian Hilbert .......................................................................... 18

2.1.1 Tæng quan ................................................................................... 18

2.1.2 Kh«ng gian Hilbert ...................................................................... 19

2.2 Xö lý tÝn hiÖu rêi r¹c ........................................................................ 27

2.2.1 §Þnh lý lÊy mÉu ........................................................................... 27

2.2.2 Xö lý tÝn hiÖu rêi r¹c nhiÒu tèc ®é .............................................. 28

2.3 BiÓu diÔn thêi gian-tÇn sè ................................................................. 33

2.3.1 TÇn sè, tû lÖ vµ ®é ph©n gi¶i ........................................................ 33

2.3.2 Nguyªn lý bÊt ®Þnh ...................................................................... 35

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Ch-¬ng 3 – C¸c c¬ së rêi r¹c vµ b¨ng läc ................................................ 36

3.1 C¸c khai triÓn chuçi cña tÝn hiÖu rêi r¹c ........................................... 36

3.1.1 Chuçi Furier rêi r¹c ..................................................................... 37

3.1.2 Khai triÓn Haar cña tÝn hiÖu rêi r¹c ............................................ 38

3.1.3 Khai triÓn Sinc cña tÝn hiÖu rêi r¹c ............................................. 42

3.2 B¨ng läc 2 kªnh ................................................................................. 43

3.3 B¨ng läc cÊu tróc c©y ........................................................................ 50

3.3.1 B¨ng läc Octave vµ c¸c chuçi Wavelet rêi r¹c ........................... 51

3.3.2 C¸c chuçi Wavelet rêi r¹c vµ tÝnh chÊt ....................................... 53

3.3.3 Ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i cña b¨ng läc Octave ............................... 55

3.3.4 C¸c b¨ng läc cÊu tróc c©y th«ng th-êng vµ gãi Wavelet ............ 57

3.4 B¨ng läc nhiÒu kªnh .......................................................................... 58

3.5 S¬ ®å h×nh th¸p vµ khai triÓn d- ........................................................ 60

3.6 B¨ng läc nhiÒu chiÒu ......................................................................... 62

Ch-¬ng 4 – Khai triÓn chuçi sö dung Wavelet vµ c¸c c¬ së biÕn ®æi ..... 65

4.1 Mét sè ®Þnh nghÜa ............................................................................. 65

4.1.1 Khai triÓn chuçi cña tÝn hiÖu liªn tôc .......................................... 65

4.1.2 §é ph©n gi¶i thêi gian vµ tÇn sè cña khai triÓn ........................... 67

4.1.3 Khai triÓn Haar ............................................................................ 68

4.2 Kh¸i niÖm ®a ph©n gi¶i vµ ph©n tÝch ................................................. 73

4.2.1 §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i .............................................. 73

4.2.2 CÊu tróc cña Wavelet .................................................................. 75

4.2.3 C¸c vÝ dô vÒ ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i ............................................ 77

4.3 Wavelet Meyer .................................................................................. 81

LuËn v¨n cao häc. Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

4.4 C¸c Wavelet ®¹t ®-¬c tõ b¨ng läc lÆp l¹i .......................................... 85

4.5 Chuçi Wavelet vµ c¸c tÝnh chÊt ......................................................... 92

4.6 C¸c tr-êng hîp tæng qu¸t trong 1 chiÒu ............................................ 99

Ch-¬ng 5 – C¸c øng dông cña Wavelet ................................................... 102

5.1 C¸c øng dông .................................................................................... 102

5.1.1 M· ho¸ nguån xÊp xØ liªn tiÕp .................................................... 102

5.1.2 Mét sè vÝ dô cña m· hãa Wavelet vµ b¨ng con .......................... 102

5.2 M· hãa Wavelet c©y zªr« g¾n liÒn .................................................... 108

5.2.1 M· ho¸ EZW ............................................................................... 108

5.2.2 C©y zªr« ...................................................................................... 108

5.2.3 Nguyªn t¾c ho¹t ®éng ................................................................. 110

KÕt luËn ...................................................................................................... 113

Tµi liÖu tham kh¶o ...................................................................................... 114

LuËn v¨n cao häc. - 1 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Lêi nãi ®Çu.

ViÖc xö lý tÝn hiÖu b»ng ph-¬ng ph¸p sè (DSP-Digital Signal processing)

ngµy cµng phæ biÕn h¬n so víi xö lý tÝn hiÖu b»ng ph-¬ng ph¸p t-¬ng tù (ASP-

Analog Signal Procesing) v× nh÷ng -u ®iÓm v-ît tréi cña nã. C¸c hÖ thèng sö

dông DSP cã tÝnh mÒm dÎo h¬n so víi sö dông ASP v× dÔ thùc hiÖn, gi¶i thuËt

®¬n gi¶n. Ho¹t ®éng cña DSP Ýt bÞ ¶nh h-ëng bëi nh÷ng ®iÒu kiÖn bªn ngoµi

t¸c ®éng vµo ( nh- nhiÖt ®é). Gi¸ thµnh cña DSP rÎ h¬n so víi sö dông ASP

khi c«ng nghÖ VLSI ngµy cµng ph¸t triÓn. Nh-ng nh-îc ®iÓm cña DSP lµ cã

tèc ®é bÞ h¹n chÕ ®Æc biÖt khi tÇn sè cao.

Trong viÖc xö lý tÝn hiÖu sè DSP th× lý thuyÕt Fourier lu«n ®-îc xem lµ

nÒn t¶ng c¬ së kh«ng thÓ thiÕu ®-îc tõ tr-íc ®Õn nay. Nã lµ c«ng cô c¬ b¶n

cña to¸n häc vµ øng dông trong kü thuËt ®Æc biÖt lµ xö lý tÝn hiÖu sè. Râ rµng

biÕn ®æi Fourier ®· trë nªn phæ biÕn, nã ®-îc xem lµ chç dùa chÝnh cho viÖc

xö lý tÝn hiÖu trong nhiÒu thÕ hÖ. Tuy nhiªn trong mét sè tr-êng hîp nã trë nªn

kh¸ phøc t¹p. XÐt vÝ dô hµm f(t) lµ xung vu«ng th× biÕn ®æi Fourier lµ hµm

sinc. §Ó cã ®-îc viÖc biÓu diÔn chÝnh x¸c cña xung vu«ng trªn ta cÇn më réng

nh÷ng thµnh phÇn tÇn sè cña hµm sinc tõ - ®Õn +. V× vËy viÖc biÓu diÔn tÝn

hiÖu ®-îc côc bé vÒ mÆt thêi gian sÏ kh«ng hiÖu qu¶.

Mét sè biÕn ®æi cña Fourier sau ®ã nh- biÕn ®æi Gabor cßn gäi lµ biÕn ®æi

Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform). STFT cã hµm cöa sæ

tr-ît trªn trôc thêi gian, tõ ®ã ¸p dông biÕn ®æi Fourier cho tÝn hiÖu ®-îc cöa

sæ ho¸ (windowed signal). STFT cho ta ®-îc quan hÖ gi÷a thêi gian vµ tÇn sè.

Nh-ng ®é réng cöa sæ lµ cè ®Þnh vµ tr-ît trªn trôc thêi gian vµ nh- vËy kh«ng

cã hiÖu qu¶ trong viÖc xö lý tÝn hiªu b¨ng réng.

PhÐp biÕn ®æi Wavelet ®-îc ph¸t triÓn nh»m kh¾c phôc nh÷ng h¹n chÕ cña

biÕn ®æi Fourier trong lÜnh vùc xö lý tÝn hiÖu. BiÕn ®æi Wavelet lµ mét c«ng cô

®Ó ph©n chia d÷ liÖu hoÆc nh÷ng hµm hoÆc nh÷ng to¸n tö thµnh nh÷ng thµnh

phÇn tÇn sè kh¸c nhau. Sù kh¸m ph¸ cña Wavelet d-íi d¹ng nh÷ng c¬ së trùc

chuÈn cña nh÷ng kh«ng gian hµm (nh- hµm kh¶ tÝch b×nh ph-¬ng) bëi Meyer,

Daubechies, Battle, LemariÐ… Tõ ®ã Mallat vµ Meyer ®· t¹o ra nh÷ng khung

chuÈn cho viÖc khai triÓn wavelet ®-îc gäi lµ ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i, vµ ®·

thiÕt lËp ra nh÷ng liªn kÕt víi nh÷ng ph-¬ng ph¸p ®-îc sö dông trong nh÷ng

lÜnh vùc kh¸c. Daubechies ®· x©y dùng nh÷ng bé läc Wavelet liªn hÖ víi

ph-¬ng ph¸p bé läc b¨ng (filter banks) ®-îc sö dông trong xö lý tÝn hiÖu sè.

HiÖn nay Wavelet lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò ®ang ®-îc nhiÒu nhµ to¸n

häc vµ kü thuËt trªn thÕ giíi quan t©m. D-íi nh÷ng gãc nh×n kh¸c nhau

LuËn v¨n cao häc. - 2 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Wavelet ®-îc quan t©m nh- lµ c¬ së to¸n häc míi ®Ó biÓu diÔn hµm, lµ h-íng

nghiªn cøu míi cña to¸n häc gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p nh- gi¶i

ph-¬ng tr×nh vi ph©n, tÝch ph©n…, lµ kü thuËt míi cho viÖc ph©n tÝch hÖ trôc

thêi gian-tÇn sè ®Ó øng dông trong nhiÒu lÜnh vùc nh- nÐn tÝn hiÖu mµ cô thÓ lµ

nÐn ¶nh, khö nhiÔu, xö lý tÝn hiÖu rada, ®iÒu khiÓn tù ®éng vµ nhiÒu lÜnh vùc

kh¸c n÷a.

§Ó hiÓu thªm vÒ Wavelet trong phÇn ®å ¸n tèt nghiÖp nµy sÏ giíi thiÖu mét

c¸ch tæng quan vÒ c¸c c¬ së ®Ó x©y dùng biÕn ®æi Wavelet vµ mét sè øng dông

cña nã.

LuËn v¨n cao häc. - 3 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Ch-¬ng 1. Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n cña Wavelet.

Xö lý tÝn hiÖu sö dông biÕn ®æi Wavelet lµ mét vÊn ®Ò míi ®ang ®-îc nhiÒu

nhµ to¸n häc vµ kü thuËt trªn thÕ giíi quan t©m ®Õn. BiÕn ®æi Wavelet ®-îc

t×m ra ®Ó mong muèn kh¾c phôc mét sè h¹n chÕ cña biÕn ®æi Fourier khi

nghiªn cøu nh÷ng tÝn hiÖu thay ®æi theo thêi gian. Wavelet lµ kü thuËt míi

trong viÖc ph©n tÝch trong miÒn thêi gian-tÇn sè ®Ó øng dông trong nhiÒu lÜnh

vùc kü thuËt kh¸c nhau nh- nÐn tÝn hiÖu, khö nhiÔu trong hÖ thèng viÔn th«ng,

xö lý tÝn hiÖu ra®a trong hµng kh«ng, ®iÒu khiÓn tù ®éng vµ nhiÒu lÜnh vùc

kh¸c n÷a. Néi dung chÝnh cña ch-¬ng nµy lµ ®-a ra nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n

nhÊt vÒ Wavelet nh-ng tr-íc tiªn cÇn nh¾c l¹i mét phÐp biÕn ®æi c¬ b¶n ®·

®-îc sö dông trong xö lý tÝn hiÖu lµ biÕn ®æi Fourier.

1.1 BiÕn ®æi Fourier.

1.1.1 BiÕn ®æi Fourier vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã.

Cho mét hµm kh¶ tÝch f(t), ta cã biÕn ®æi Fourier cña nã lµ:

(1.1)

cßn gäi lµ c«ng thøc ph©n tÝch Fourier. Vµ biÕn ®æi Fourier ng-îc lµ:

(1.2)









 )(,)()( tfedtetfF

tjtj



















deFtf

tj

)(

2

1

)(

LuËn v¨n cao häc. - 4 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

hay gäi lµ c«ng thøc tæng hîp Fourier. Chó ý r»ng

tj

e



kh«ng thuéc L

2

(R) vµ

tËp hîp

 

tj

e



lµ v« h¹n. §iÒu kiÖn ®Ó tån t¹i biÕn ®æi Fourier ng-îc lµ f(t) ph¶i

liªn tôc (hoÆc f(t) ®-îc ®Þnh nghÜa theo (f(t

+

)+f(t

-

))/2 t¹i c¸c ®iÓm kh«ng liªn

tôc). Khi ®ã kÝ hiÖu cÆp biÕn ®æi Fourier nh- sau:

f(t)



F(



) (1.3)

BiÕn ®æi Fourier tho¶ m·n mät sè tÝnh chÊt d-íi ®©y (c¸c tÝnh chÊt nµy kh«ng

chøng minh):

TÝnh tuyÕn tÝnh: V× biÕn ®æi Fourier lµ mét tÝch v« h-íng nªn nã cã tÝnh chÊt

tuyÕn tÝnh cña tÝch v« h-íng:



f(t) +



g(t)





F(



) +



G(



) (1.4)

TÝnh ®èi xøng: NÕu F(



) lµ biÕn ®æi Fourier cña f(t) th×:

F(t)



2



f(-



) (1.5)

TÝnh chÊt nµy cho thÊy b¶n chÊt ®èi xøng cña c¸c c«ng thøc ph©n tÝch vµ tæng

hîp Fourier.

TÝnh chÊt dÞch: Mét sù dÞch chuyÓn trong miÒn thêi gian bëi t

0

sÏ g©y ra dÞch

chuyÓn pha trong miÒn tÇn sè:

f(t-t

0

) 

0

tj

e





F(



) (1.6)

Ng-îc l¹i sù dÞch chuyÓn tÇn sè sÏ kÐo biÕn ®æi bëi hµm mò trong miÒn thêi

gian:

0

tj

e



f(t)



F(



-



0

) (1.7)

TÝnh tØ lÖ: TØ lÖ vÒ thêi gian t¹o ra tØ lÖ nghÞch vÒ tÇn sè cho bëi cÆp biÕn ®æi

nh- sau (a lµ h»ng sè thùc):

f(at)















a

F

a



1

(1.8)

TÝnh chÊt vi ph©n (tÝch ph©n):

Vi ph©n trong miÒn thêi gian tån t¹i khi biÕn ®æi Fourier lµ tån t¹i:

(1.9)

Ng-îc l¹i nÕu F(0)=0 th× cã c«ng thøc tÝch ph©n:

(1.10)

§èi víi miÒn tÇn sè c«ng thøc vi ph©n lµ:

(1.11)

)()(

)(



Fj

t

tf

n











t

j

F

df





)(

n

F

tfjt







)(

)()(

LuËn v¨n cao häc. - 5 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

TÝch chËp: TÝch chËp cña hai hµm sè f(t) vµ g(t) cho bëi:

(1.12)

vµ kÝ hiÖu lµ h(t)=f(t)*g(t)=g(t)*f(t) v× (1.12) lµ ®èi xøng. NÕu F(



) vµ G(



) lµ

biÕn ®æi Fourier cña f(t) vµ g(t) th× ®Þnh lý tÝch chËp lµ:

f(t)*g(t)



F(



)G(



) (1.13)

Do tÝnh chÊt ®èi xøng, tÝch trong miÒn thêi gian dÉn tíi tÝch chËp cña c¸c biÕn

®æi Fourier, tøc lµ:

(1.14)

§©y ®-îc xem nh- ®Þnh lý biÕn ®æi cña biÕn ®æi Fourier.

C«ng thøc Parseval:

(1.15)

§Æc biÖt khi f(t)=g(t) th×:

(1.16)

BiÕn ®æi Fourier ë trªn cßn gäi lµ khai triÓn tÝch ph©n liªn tôc. Bªn c¹nh ®ã

tuú thuéc vµo c¸ch khai triÓn lµ tæng (mét chuçi) hay tÝch ph©n (mét phÐp biÕn

®æi) mµ cã ba d¹ng khai triÓn Fourier n÷a.

(i) Khai triÓn chuçi liªn tôc (hay cßn gäi lµ chuçi Fourier).

Cho mét hµm f(t) cã chu k× T, tøc lµ f(t)=f(t+T), th× f(t) cã thÓ ®-îc biÓu diÔn

nh- mét kÕt hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c hµm mò phøc víi tÇn sè n



0

nh- sau:

(1.17)

Víi:

(1.18)

Khi f(t) liªn tôc th× chuçi Fourier sÏ héi tô vÒ f(t).

(ii) Khai triÓn tÝch ph©n rêi r¹c (hay cßn gäi lµ biÕn ®æi Fourier rêi r¹c).











dtgfth )()()(

)(*)(

2

1

)()(





GFtgtf 

 















dGFdttgtf )()(

2

1

)()(

**

 















dFdttf

22

)(

2

1

)(

 









k

tjk

ekFtf

0

)(



 







2/

0

)(

1

T

tjk

dtetf

T

kF



LuËn v¨n cao häc. - 6 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

Cho chuçi

 

 

Zn

nf



, biÕn ®æi Fourier rêi r¹c cña nã ®-îc ®Þnh nghÜa:

(1.19)

C«ng thøc nµy cã chu k× 2



. Vµ biÕn ®æi ng-îc cña nã lµ:

(1.20)

Trong ®ã chuçi f[n] lµ c¸c gi¸ trÞ lÊy mÉu cña hµm liªn tôc f(t) t¹i thêi ®iÓm nT

(f[n] = f(nT)). §iÒu kiÖn ®Ó (1.19) héi tô lµ chuçi f[n] cã tæng h÷u h¹n.

(iii) Khai triÓn chuçi rêi r¹c (hay cßn gäi lµ chuçi Fourier rêi r¹c).

NÕu mét chuçi rêi r¹c cã chu k× N, tøc lµ f[n] = f[n+lN], l



Z th× biÓu diÔn

chuçi Fourier rêi r¹c cña nã lµ:

(1.21)

(1.22)

trong ®ã W

N

lµ vÞ trÝ thø N trªn vßng trßn ®¬n vÞ.

Râ rµng lý thuyÕt Fourier ®-îc x©y dùng tõ rÊt l©u ®· trë nªn phæ biÕn vµ ®-îc

xem lµ nÒn t¶ng c¬ së kh«ng thÓ thiÕu trong to¸n häc vµ c¸c lÜnh vùc kü thuËt

®Æc biÖt lµ xö lý tÝn hiÖu sè. Tuy nhiªn trong mét sè tr-êng hîp nã trë nªn kh¸

phøc t¹p. XÐt vÝ dô mét tÝn hiÖu côc bé vÒ thêi gian bÊt k× (ch¼ng h¹n nh- f(t)

lµ hµm xung vu«ng hay cã mét thay ®æi bÊt ngê) th× biÕn ®æi Fourier sÏ lµ hµm

sinc. §Ó cã ®-îc viÖc biÓu diÔn chÝnh x¸c ta ph¶i më réng nh÷ng thµnh phÇn

tÇn sè cña hµm sinc trªn toµn bé trôc tÇn sè (tõ - ®Õn +). V× vËy viÖc biÓu

diÔn nh÷ng tÝn hiÖu côc bé vÒ thêi gian lµ kh«ng hiÖu qu¶.

Mét c¶i tiÕn cña biÕn ®æi Fourier ®· ®-îc Gabor ®-a ra gäi lµ biÕn ®æi Gabor

hay biÕn ®æi Fourier thêi gian ng¾n STFT (Short-time Fourier Transform).

1.1.2 BiÕn ®æi Fourier thêi gian ng¾n (STFT).

BiÕn ®æi Fourier thêi gian ng¾n STFT thùc tÕ lµ biÕn ®æi Fourier th«ng th-êng

nh-ng ®-îc cöa sæ ho¸. TÝn hiÖu tr-íc tiªn ®-îc nh©n víi mét hµm cöa sæ

)(



t

sau ®ã thùc hiÖn biÕn ®æi Fourier:

 











n

njj

enfeF



)(

 















deeFnf

njj

)(

2

1

   









1

0

,

N

n

nk

N

ZkWnfkF

   











1

0

,

1

N

k

nk

N

ZnWkF

N

nf

LuËn v¨n cao häc. - 7 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

         

tftgdttfteSTFT

tj

f

,,

,

*

















(1.23)

Víi

   







 tetg

tj

,

(1.24)

Trong ®ã

)(t



lµ mét hµm cöa sæ thÝch hîp tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã n¨ng l-îng

h÷u h¹n, kh¶ tÝch. Nh- vËy

),(



f

STFT

lµ biÕn ®æi Fourier cña f(t) sau khi ®·

®-îc cöa sæ ho¸ b»ng

)(t



th«ng qua dÞch chuyÓn b»ng



. Mét -u ®iÓm lín cña

STFT lµ nÕu tÝn hiÖu cã hÇu hÕt n¨ng l-îng tËp trung trong kho¶ng thêi gian

[-T,T] vµ kho¶ng tÇn sè [-



,



] th× STFT sÏ ®-îc x¸c ®Þnh trong vïng

[-T,T]



[-



,



] vµ gÇn nh- b»ng 0 trong c¸c kho¶ng thêi gian vµ kho¶ng

tÇn sè mµ tÝn hiÖu cã n¨ng l-îng nhá.

T-¬ng tù nh- biÕn ®æi Fourier th«ng th-êng hµm f(t) cã thÓ ®-îc kh«i phôc

nh- sau:

(1.25)

víi gi¶ thiÕt ||



(t)|| = 1. Vµ STFT còng cã tÝnh chÊt b¶o toµn n¨ng l-îng:

 

















ddtgSTFTtf

f

)(),(

2

1

)(

,

f

T

(a) (b)

H×nh 1.1. C¸c hµm c¬ së cña STFT (a) vµ vïng phñ trong mÆt ph¼ng

thêi gian-tÇn sè (b).

LuËn v¨n cao häc. - 8 - Wavelet vµ øng dông.

Häc viªn ®µo h¶i tïng - Líp CH§TVT2002.

(1.26)

Mét trong nh÷ng hµm cöa sæ hay ®-îc sö dông trong STFT lµ cöa sæ Hanning

vµ cöa sæ Gaussian.

Cöa sæ Hanning cho bëi c«ng thøc:

t



[-T/2,T/2] (1.27)

cßn l¹i

Cßn cöa sæ Gaussian lµ:

0,)(

2









t

et

(1.28)

Trong ®ã



®iÒu khiÓn ®é réng, hay sù tr¶i ra vÒ mÆt thêi gian vµ



lµ hÖ sè

chuÈn ho¸. BiÕn ®æi Fourier cña nã W(



) cho bëi:









4/

2

)(



 eW

(1.29)

BiÕn ®æi STFT ë trªn ®-îc hiÓu lµ liªn tôc v× nh÷ng th«ng sè



,



lµ liªn tôc.

Khi nh÷ng th«ng sè (,) ®-îc rêi r¹c thµnh (m



0

,n



0

) th× biÕn ®æi ®ã ®-îc

gäi lµ biÕn ®æi STFT rêi r¹c. NÕu hµm cöa sæ lµ mét bé läc th«ng thÊp víi tÇn

sè c¾t



b

hay b¨ng th«ng 2



b

th×



0

ph¶i chän nhá h¬n 2



b

vµ



0

nhá h¬n



/



b

®Ó cã ®-îc lÊy mÉu thÝch hîp.

Mét h¹n chÕ cña biÕn ®æi STFT lµ do hµm cöa sæ cã kÝch th-íc kh«ng ®æi ë

mÆt ph¼ng thêi gian-tÇn sè, tøc lµ kh«ng cã kh¶ n¨ng thay ®æi ®é réng cöa sæ

øng víi c¸c tÇn sè kh¸c nhau.

Nh- vËy tuy ®· kh¾c phôc ®-îc phÇn nµo nh÷ng h¹n chÕ cña biÕn ®æi Fourier

th«ng th-êng nh-ng STFT vÉn cßn mét sè nh-îc ®iÓm. C¸c nh-îc ®iÓm nµy sÏ

®-îc lo¹i bá hoµn toµn trong biÕn ®æi Wavelet.

1.2 BiÕn ®æi Wavelet.

1.2.1 BiÕn ®æi Wavelet liªn tôc.

T-¬ng tù nh- STFT, biÕn ®æi Wavelet còng biÕn ®æi mét hµm thêi gian thµnh

hµm hai chiÒu cña a vµ b (thay cho



,



trong STFT). Tham sè a gäi lµ thang tØ

lÖ, nã chia tØ lÖ mét hµm b»ng c¸ch nÐn hay gi·n hµm ®ã vµ b lµ dÞch chuyÓn

cña hµm wavelet trªn toµn bé trôc thêi gian.

 















ddSTFTtf

f

2

),(

2

1

)(

 











0

2/)/2cos(1

)(

Tt

t



