BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CH KHOA NỘI
NGÔ QUÝ ĐĂNG
NGHIỆM TUẦN HOÀN
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
số: 62460103
TÓM TT LUẬN ÁN TIẾN TOÁN HỌC
Nội - 2017
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Nội
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy
Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Minh Mẫn
Phản biện 3: PGS.TS Cung Thế Anh
Luận án được bảo v trước Hội đồng đánh giá luận án tiến
cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Nội
Vào hồi 14 giờ 00, ngày 30 tháng 10 năm 2017
thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện T Quang Bửu Trường ĐHBK Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và do chọn đề tài
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân tìm điều kiện tồn tại
nghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến hàm tuần hoàn theo
thời gian). Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuần
hoàn hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương pháp
điểm cố định của Tikhonov hoặc phương pháp hàm Lyapunov, còn các
phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn xét tính
bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua một số
phép nhúng compact. Mặc vậy, trong một số ứng dụng cụ thể, chẳng hạn
như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn hoặc
phương trình vi phân nghiệm không bị chặn, việc sử dụng các phép nhúng
compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn khó khăn và
không đúng nữa. Để khắc phục được khó khăn y, năm 2014, N.T.Huy đã
sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra nghiệm tuần hoàn của phương trình
Navier-Stokes. Phương pháp y, được Zubelevich mở rộng vào năm 2006 từ
mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương trình vi
phân thường được Massera đưa ra năm 1950. Tuy nhiên, sử dụng phương
pháp Ergodic chỉ ra tính tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương
trình tiến hóa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t), t R
+
, với toán tử tuyến tính
A(t) (có thể không bị chặn) sinh ra họ tiến hóa và trường hợp họ tiến hóa
nhị phân mũ đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu v dáng điệu tiệm cận nghiệm
cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó nghiên cứu v
tồn tại đa tạp tích phân. Nghiên cứu y mang lại cho chúng ta bức tranh
hình học v dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu
1
phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của
những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản
hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp y đối với các nghiệm của
phương trình đang xét. Những kết quả đầu tiên nghiên cứu v sự tồn tại đa
tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard, Perron
đưa ra. Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng các kết quả đó cho phương
trình vi phân trong không gian Banach.... Năm 2009, N.T. Huy cùng một số
cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấp nhận được, định hàm ẩn,... xây
dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp ổn định bất biến không cần dùng
điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ của toán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển.
Cụ thể các tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi
xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đó hệ số Lipschitz của phần phi
tuyến hàm ph thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp
nhận được. Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang
đến một số kết quả về thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công b
trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, các nghiên cứu y mới xét cho trường
hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng, một số dạng phương trình vi phân đạo
hàm riêng không trễ hoặc trễ hữu hạn.
Từ những phân tích trên, trong luận án y, chúng tôi sử dụng phương
pháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả y kết
hợp với nguyên ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón
để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định điều kiện
của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần
hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Luận án nhằm:
2
- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của một số lớp
phương trình vi phân.
- Nghiên cứu một số tính chất định tính đối với các nghiệm khác xung
quanh nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình vi phân.
- y dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn
của một số lớp phương trình vi phân.
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số
lớp phương trình vi phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp thuyết đặt chỉnh của các phương trình không ô-tô-nôm
và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm của
phương trình vi phân...
- Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tôpô *-yếu, Định
Banach-Alaoglu, Nguyên điểm bất động.
- Sử dụng thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa
tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm trễ hữu hạn hoặc vô hạn.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đây hướng nghiên cứu mới, đã góp phần làm phong phú thêm
v thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,...
Các kết quả và ý tưởng của luận án thể sử dụng trong nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
3
Chương 1: Trình y một số kiến thức chuẩn bị v nửa nhóm liên tục
mạnh, một số tính chất của nửa nhóm, khái niệm về họ tiến hóa, không
gian hàm Banach chấp nhận được, không gian giảm nhớ, nhị phân mũ
của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân.
Chương 2: Nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương
trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất và tồn tại duy nhất nghiệm
tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính; tính tồn tại duy
nhất và ổn định điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa
nửa tuyến tính trong trường hợp họ tiến hóa nhị phân mũ.
Chương 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến thỏa mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương; sự tồn tại duy nhất, ổn định điều
kiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xung
quanh nghiệm tuần hoàn.
Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trễ hữu hạn hoặc vô hạn với
phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc
không gian hàm chấp nhận được, sau đó với họ tiến hóa tuần hoàn
nhị phân chúng tôi chứng minh tính ổn định điều kiện và tồn tại
đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo, được liệt kê
"Danh mục công trình đã công b của luận án", trong đó các bài
[1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp
c thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp c Quốc tế chuyên nghành trong
danh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được
và không gian giảm nhớ
1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được
Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm Banach E được gọi chấp nhận được
nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tồn tại hằng số M 1 sao cho mọi [a, b] R
+
và mọi ϕ E ta
Z
b
a
|ϕ(t)|dt
M(b a)
kχ
[a,b]
k
E
kϕk
E
.
(ii) E bất biến với toán tử Λ
1
, trong đó Λ
1
ϕ(t) =
t+1
R
t
ϕ(τ).
(iii) E T
+
τ
và T
τ
bất biến với mọi τ R
+
, với
T
+
τ
ϕ(t) =
(
ϕ(t τ) nếu t τ 0,
0 nếu 0 t < τ,
T
τ
ϕ(t) = ϕ(t + τ) với mọi t 0.
Hơn nữa, N
1
, N
2
> 0 sao cho kT
+
τ
k
E
N
1
, kT
τ
k
E
N
2
, τ R
+
.
dụ 1.1.2. Không gian L
p
(R
+
), 1 p , và không gian
M :=
f L
1, loc
(R
+
) : kfk
M
:= sup
t0
Z
t+1
t
|f(τ)| <
, (1.1)
các không gian hàm Banach chấp nhận được.
5
Mệnh đề 1.1.3. Cho E không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau
(a) Cho ϕ L
1, loc
(R
+
) sao cho ϕ 0 Λ
1
ϕ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λ
0
σ
ϕ Λ
00
σ
ϕ như sau:
Λ
0
σ
ϕ(t) =
Z
t
0
e
σ(ts)
ϕ(s)ds, Λ
00
σ
ϕ(t) =
Z
t
e
σ(st)
ϕ(s)ds.
Khi đó, Λ
0
σ
ϕ Λ
00
σ
ϕ E. Hơn nữa, nếu ϕ M thì Λ
0
σ
ϕ Λ
00
σ
ϕ bị chặn
ta có đánh giá
kΛ
0
σ
ϕk
N
1
1 e
σ
kΛ
1
T
+
1
ϕk
, kΛ
00
σ
ϕk
N
2
1 e
σ
kΛ
1
ϕk
, (1.2)
trong đó Λ
1
, T
+
1
N
1
, N
2
được xác định trong Định nghĩa 1.1.1.
(b) Với mọi α > 0, e
αt
E.
(c) Với mọi b > 0, e
bt
/ E.
Trong không gian M xác đinh như (1.1) xét tập các hàm tuần hoàn với
chu 1 như sau
P :=
f M : f tuần hoàn với chu 1
. (1.3)
Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ thuộc P ta
kΛ
0
σ
ϕk
N
1
1 e
σ
kϕk
M
và kΛ
00
σ
ϕk
N
2
1 e
σ
kϕk
M
. (1.4)
hiệu không gian Banach
M := {f : R
+
X | kf(·)k M} với chuẩn kfk
M
:= kkf(·)kk
M
. (1.5)
1.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá
Định nghĩa 1.2.1. Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U(t, s))
ts0
trên không gian Banach X được gọi họ tiến hoá nếu
6
(i) U(t, t) = Id và U(t, r)U(r, s) = U(t, s) với mọi t r s,
(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U(t, s)x liên tục với mỗi x X,
(iii) tồn tại các hằng số K, α 0 sao cho kU(t, s)xk Ke
α(ts)
kxk với mọi
t s và x X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho U := (U(t, s))
ts0
họ tiến hóa trên không gian X.
(1) Họ tiến hoá U được gọi nhị phân trên [0, ) nếu tồn tại các toán
tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t 0, trên X và các hằng số N, ν > 0
sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t s 0;
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) KerP (t), t s 0, đẳng cấu,
chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược U(s, t)
|
:= (U(t, s)
|
)
1
, 0 s t;
(c) kU(t, s)xk Ne
ν(ts)
kxk với x P (s)X, t s 0;
(d) kU(s, t)
|
xk Ne
ν(ts)
kxk với x KerP (t), t s 0.
(2) Họ tiến hoá U được gọi ổn định trên [0, ) nếu U nhị phân mũ
với phép chiếu nhị phân P (t) = Id, t 0. Tức là, tồn tại các các hằng
số N, ν > 0 sao cho kU(t, s)k Ne
ν(ts)
với t s 0.
Bổ đề 1.2.3. Cho (U(t, s))
ts0
họ tiến hoá nhị phân với các toán tử
chiếu nhị phân P (t). Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))
t0
bị chặn đều
liên tục mạnh (H := sup
t0
P (t)).
Cho (U(t, s))
ts0
họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
P (t), t 0. Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau
G(t, τ) =
(
P (t)U(t, τ) nếu t > τ 0,
U(t, τ )
|
(I P (τ)) nếu 0 t < τ.
(1.8)
Khi đó, chúng ta đánh giá
kG(t, τ)k (1 + H)Ne
ν|tτ |
với t 6= τ 0. (1.9)
7
Chương 2
SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN
CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN A NỬA TUYẾN TÍNH
2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến
hóa tuyến tính
Với X không gian đối ngẫu của không gian khả ly Y (tức là, X = Y
0
Y không gian Banach khả ly), xét phương trình tiến hóa tuyến tính không
thuần nhất
du
dt
= A(t)u(t) + f(t), t R
+
, (2.1)
trong đó họ các toán tử tuyến tính (A(t))
t0
có thể không bị chặn sinh
ra họ tiến hóa (U(t, s))
ts0
. Nghiệm đủ tốt của (2.1) với điều kiện đầu
u(0) = u
0
X hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân
u(t) = U(t, 0)u
0
+
Z
t
0
U(t, τ )f(τ) với mọi t 0. (2.3)
Giả thiết 2.1.1. Giả sử A(t) tuần hoàn với chu T , tức A(t+T ) = A(t)
với hằng số T > 0 c định mọi t R
+
. Khi đó, (U(t, s))
ts0
hàm tuần
hoàn với chu T tức U(t + T, s + T ) = U(t, s) với mọi t s 0.
Giả thiết 2.1.2. Giả sử không gian Y xem như không gian con của không
gian Y
00
(qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử
U
0
(T, 0), với toán tử U
0
(T, 0) đối ngẫu của U(T, 0).
8
Định lý 2.1.3. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y
0
, f
C
b
(R
+
, X). Giả sử tồn tại u
0
X sao cho nghiệm đủ tốt u của (2.1) với
u(0) = u
0
thỏa mãn u C
b
(R
+
, X) kuk
C
b
(R
+
,X)
6 Mkfk
C
b
(R
+
,X)
; các Giả
thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn f tuần hoàn với chu T . Khi đó
phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu T thỏa mãn:
kˆuk
C
b
(R
+
,X)
6 (M + T )Ke
αT
kfk
C
b
(R
+
,X)
. (2.6)
với α, K xác định trong Định nghĩa 1.2.1.
Hơn nữa, nếu họ tiến a U(t, s)
ts0
thỏa mãn:
lim
t→∞
kU(t, 0)xk = 0 với x X sao cho U(t, 0)x bị chặn trong R
+
(2.7)
thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu T của phương trình (2.1) duy nhất.
2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u(t) + g(u)(t), t R
+
, (2.17)
trong đó toán tử A(t) thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và toán tử
Nemytskii g : C
b
(R
+
, X) C
b
(R
+
, X) thỏa mãn:
(1) kg(0)k
C
b
(R
+
,X)
γ, γ hằng số không âm;
(2) g ánh xạ biến hàm tuần hoàn với chu T thành một hàm
tuần hoàn với chu T ;
(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho
kg(v
1
) g(v
2
)k
C
b
(R
+
,X)
Lkv
1
v
2
k
C
b
(R
+
,X)
với mọi v
1
, v
2
C
b
(R
+
, X) và kv
1
k
C
b
(R
+
,X)
, kv
2
k
C
b
(R
+
,X)
ρ.
(2.18)
9
Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.17) với điều kiện đầu u(0) = u
0
X
hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau
u(t) = U(t, 0)u
0
+
Z
t
0
U(t, τ )g(u)(τ) với mọi t 0. (2.19)
Định 2.2.1. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mỗi f C
b
(R
+
, X)
phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt u với điều kiện đầu u
0
X thỏa mãn u
C
b
(R
+
, X), kuk
C
b
(R
+
,X)
Mkfk
C
b
(R
+
,X)
. Họ tiến a U(t, s)
ts0
thỏa mãn:
lim
t→∞
kU(t, 0)xk = 0 với x X sao cho U(t, 0)x bị chặn trong R
+
.
Xét hàm g thỏa mãn điều kiện (2.18). Khi đó, nếu L γ đủ nhỏ thì
phương trình (2.17) có một chỉ một nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu
T trong hình cầu thuộc C
b
(R
+
, X).
2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn với
trường hợp họ tiến hóa nhị phân mũ
Bổ đề 2.3.1. Cho họ tiến a (U(t, s))
ts0
có nhị phân với phép chiếu nhị
phân tương ứng (P (t))
t0
các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử f
C
b
(R
+
, X) ánh xạ g thỏa mãn điều kiện (2.18). Khi đó,
(a) Nếu v C
b
(R
+
, X) nghiệm của phương trình (2.3) thì v có thể viết:
v(t) = U(t, 0)ζ
0
+
Z
0
G(t, τ)f(τ ) với ζ
0
X
0
:= P (0)X, (2.23)
đó G(t, τ) hàm Green được xác định trong (1.8).
(b) Nếu u C
b
(R
+
, X) nghiệm của phương trình (2.19) sao cho
sup
t0
ku(t)k ρ với ρ > 0 c định thì với t 0 hàm u(t) có thể viết:
u(t) = U(t, 0)v
0
+
Z
0
G(t, τ)g(u)(τ) với v
0
X
0
, (2.24)
đó G X
0
được xác định như trong (a).
10
Định 2.3.2. Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y
0
, xét các
phương trình (2.3) (2.19). Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa
mãn; họ tiến a (U(t, s))
ts0
có nhị phân với các phép chiếu nhị phân
P (t), t 0 N, ν các hằng số nhị phân; f C
b
(R
+
, X) hàm tuần
hoàn với chu T g thỏa mãn điều kiện (2.18) với các hằng số ρ, L, γ.
Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(a) Phương trình (2.3) có duy nhất một nghiệm tuần hoàn chu T .
(b) Với các hằng số L, γ đủ nhỏ thì phương trình (2.19) có duy nhất một
nghiệm tuần hoàn chu T trong hình cầu thuộc C
b
(R
+
, X).
2.4 Ổn định điều kiện
hiệu B
a
(x)(B
a
(v)) hình cầu đóng trong X (tương ứng C
b
(R
+
, X))
tâm tại x (tương ứng v) và bán kính a, tức với x X, v C
b
(R
+
, X)
B
a
(x) := {y X : kx yk a};
B
a
(v) := {u C
b
(R
+
, X) : ku vk
C
b
(R
+
,X)
a}.
Giả sử tồn tại hằng số dương L
1
sao cho:
kg(v
1
) g(v
2
)k
C
b
(R
+
,X)
L
1
kv
1
v
2
k
C
b
(R
+
,X)
với mọi v
1
, v
2
B
2ρ
(0). (2.28)
Định 2.4.1. Với các giả thiết của Định 2.3.2 điều kiện (2.28); xét ˆu
nghiệm tuần hoàn chu T của phương trình (2.19) đạt được trong phần
(b) của Định 2.3.2; B
ρ
(0) hình cầu chứa ˆu. Khi đó, nếu L
1
đủ nhỏ thì
tương ứng với mỗi v
0
B
ρ
2N
(P (0)ˆu(0)) P (0)X có một chỉ một nghiệm
u(t) của phương trình (2.19) trên R
+
thỏa mãn điều kiện P(0)u(0) = v
0
u B
ρ
(ˆu). Hơn nữa với u(t) ˆu(t) ta có ước lượng:
ku(t) ˆu(t)k Ce
µt
kP (0)u(0) P (0)ˆu(0)k với t 0, (2.29)
trong đó các hằng số dương C µ không phụ thuộc vào u ˆu.
11
Chú ý 2.4.2. Khẳng định của định trên chỉ ra tính ổn định có điều
kiện nghiệm tuần hoàn ˆu, tức là, với bất nghiệm u sao cho P (0)u(0)
B
ρ
2N
(P (0)ˆu(0)) P (0)X và u thuộc hình cầu B
ρ
(ˆu) thì ku(t) ˆu(t)k 0
theo cấp mũ khi t .
Hệ quả 2.4.3. Giả sử ˆu nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.19) đạt
được trong khẳng định (b) của Định 2.3.2. Họ tiến a (U(t, s))
ts0
ổn
định mũ. Khi đó, nghiệm tuần hoàn ˆu của phương trình (2.19) ổn định tức
mọi nghiệm u C
b
(R
+
, X) của phương trình (2.19) sao cho ku(0) ˆu(0)k
đủ nhỏ thì
ku(t) ˆu(t)k Ce
µt
ku(0) ˆu(0)k với mọi t 0, (2.28)
trong đó các hằng số dương C µ không phụ thuộc vào u ˆu.
Kết luận Chương 2:
Trong chương y, chúng tôi đã sử dụng Phương pháp trung bình ergodic,
phương pháp sử dụng tôpô *-yếu và Định Banach-Alaoglu chỉ ra sự tồn
tại nghiệm tuần hoàn thông qua sự tồn tại của nghiệm bị chặn trên nửa trục
thời gian và tồn tại nghiệm bị chặn trong trường hợp họ tiến hóa nhị
phân mũ cho phương trình tiến hóa tuyến tính. Sau đó, kết hợp với Nguyên
điểm bất động, bất đẳng thức Gronwall mở rộng các kết quả của phương
trình tiến hóa tuyến tính cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Nội dung của chương y dựa vào bài báo [1], trong Danh mục công
trình đã công b của luận án.
12
Chương 3
NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI PHẦN PHI TUYẾN
ϕ-LIPSCHITZ
3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình
tiến hóa nửa tuyến tính
Định tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn đối với phương trình
du
dt
= A(t)u(t) + f(t), t R
+
, (3.1)
trong trường hợp hàm đầu vào f thuộc không gian M := {f : R
+
X |
kf(·)k M} với chuẩn kfk
M
:= kkf(·)kk
M
. Nghiệm đủ tốt của (3.1) hàm
u với điều kiện đầu u(0) = u
0
X liên tục thỏa mãn phương trình tích phân
u(t) = U(t, 0)u
0
+
Z
t
0
U(t, τ )f(τ) với mọi t 0. (3.2)
Định 3.1.1. Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y
0
, f M tồn
tại u
0
X sao cho nghiệm đủ tốt u của phương trình (3.1) với u(0) = u
0
thỏa mãn u C
b
(R
+
, X) kuk
C
b
(R
+
,X)
6 Mkfk
M
. Giả sử với các Giả thiết
2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn f hàm tuần hoàn với chu 1 thì phương
trình (3.1) có nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu 1 thỏa mãn:
kˆuk
C
b
(R
+
,X)
6 (M + 1)Ke
α
kfk
M
,
với α, K xác định trong Định nghĩa 1.2.1.
13
Hơn nữa, nếu họ tiến a U(t, s)
ts0
thỏa mãn:
lim
t→∞
kU(t, 0)xk = 0 với x X sao cho U(t, 0)x bị chặn trong R
+
thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu 1 của phương trình (3.1) duy nhất.
Xét phương trình
du
dt
= A(t)u(t) + g(t, u(t)), t R
+
, (3.3)
trong đó toán tử A(t), t 0, tác động trên X và thỏa mãn giả thiết của Định
3.1.1, và toán tử phi tuyến g : [0, ) × X X thỏa mãn:
(1) g thuộc lớp (L, ϕ, ρ) với L, ρ > 0 và 0 < ϕ P,
(2) g(t, x) hàm tuần hoàn theo t chu 1 với mỗi x X cố định.
(3.4)
Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.3) với điều kiện đầu u(0) = u
0
X
hàm u liên tục thỏa mãn phương trình sau
u(t) = U(t, 0)u
0
+
Z
t
0
U(t, τ )g(τ, u(τ)) với mọi t 0. (3.5)
Định 3.1.2. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mỗi f M phương trình
(3.1) có nghiệm đủ tốt u với điều kiện đầu u
0
X thỏa mãn u C
b
(R
+
, X)
kuk
C
b
(R
+
,X)
Mkfk
M
. Họ tiến a U(t, s)
ts0
thỏa mãn:
lim
t→∞
kU(t, 0)xk = 0 với x X sao cho U(t, 0)x bị chặn trong R
+
.
Xét hàm g thỏa mãn điều kiện (3.4). Khi đó, nếu γ := kϕk
M
đủ nhỏ thì
phương trình (3.3) có một chỉ một nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu
1 trong hình cầu thuộc C
b
(R
+
, X).
3.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa
nhị phân mũ
Bổ đề 3.2.1. Cho họ tiến a (U(t, s))
ts0
có nhị phân với phép chiếu
nhị phân tương ứng (P (t))
t0
các hằng số nhị phân N, ν > 0. Cho f M
14