TRẦN THIỆN DŨNG
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------
TRẦN THIỆN DŨNG
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO HỆ BALL & PLATE
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
2015B
Hà Nội – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------
TRẦN THIỆN DŨNG
ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO HỆ BALL & PLATE
Chuyên ngành: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
2. TS. NGUYỄN VĂN CHÍ
HÀ NỘI – 2018
I
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Trần Thiện Dũng
Học viên lớp cao học Điều khiển và Tự động hóa 2015B – Trường đại học Bách
khoa Hà Nội.
Xin cam đoan: Đề tài “Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate” do thầy
GS.TS. Nguyễn Doãn Phước và thầy TS. Nguyễn Văn Chí hướng dẫn là công
trình của riêng tôi.
“Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như
đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi
thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy một bằng
cấp ở trường này hoặc trường khác”.
Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2018
Học viên
Trần Thiện Dũng
II
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. I
MỤC LỤC ............................................................................................................ II
DANH MỤC HÌNH ẢNH .................................................................................. IV
DANH MỤC BẢNG BIỂU ................................................................................ VI
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Các bài báo liên quan đến đề tài .................................................................... 2
3. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
4. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................... 3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ....................................................................... 3
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH TOÁN HỆ BALL & PLATE ........................................ 5
1.1. Động học hệ B&P ....................................................................................... 5
1.2. Động lực học hệ B&P ................................................................................. 9
1.3. Mô hình tuyến tính B&P .......................................................................... 15
1.4. Kết luận chương 1 .................................................................................... 17
CHƯƠNG 2: ĐIỀU KHIỀN BÁM QUỸ ĐẠO HỆ BALL & PALTE ............... 18
2.1. Cấu trúc điều khiển B&P .......................................................................... 18
2.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR tích phân ..................................................... 19
2.2.1. Cơ sở lý thuyết ................................................................................... 19
2.2.2. Áp dụng cho hệ B&P ......................................................................... 22
2.3. Thiết kế bộ điều khiển trượt ..................................................................... 23
2.3.1. Cơ sở lý thuyết ................................................................................... 23
2.3.2. Áp dụng cho hệ B&P ......................................................................... 27
2.4. Kết quả mô phỏng..................................................................................... 31
2.4.1. Mô phỏng bộ điều khiển LQR tích phân ........................................... 31
2.4.2. Mô phỏng bộ điều khiển trượt ........................................................... 34
2.5. Kết luận chương 2 .................................................................................... 38
CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG THỰC NGHIỆM HỆ BALL & PLATE ................. 39
III
3.1. Thiết kế, lắp ráp mô hình Ball & Plate ..................................................... 39
3.1.1. Thiết kế mô hình ................................................................................ 39
3.1.2. Khớp các-đăng và khớp cầu .............................................................. 40
3.1.3. Lắp ráp mô hình Ball & Plate ............................................................ 40
3.2. Phương pháp xác định vị trí viên bi trên tấm phẳng ............................... 41
3.3. Cấu trúc phần cứng điều khiển hệ thống B&P ......................................... 42
3.3.1. Động cơ servo .................................................................................... 43
3.3.2. Bo mạch Arduino Uno ....................................................................... 44
3.3.3. Camera ............................................................................................... 47
3.3.4. Máy tính ............................................................................................. 48
3.4. Thị giác máy và ứng dụng ........................................................................ 50
3.4.1. Hệ toạ độ camera ............................................................................... 50
3.4.2. Các mô hình phép chiếu .................................................................... 51
3.4.3. Mặt phẳng ảnh và mảng pixel ........................................................... 52
3.4.4. Phân đoạn ảnh .................................................................................... 53
3.4.5. Mô tả vị trí ......................................................................................... 55
3.4.6. Mô hình màu ...................................................................................... 56
3.4.7. Ứng dụng thị giác máy vào hệ Ball & Plate ...................................... 58
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................... 61
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ........................................................ 62
4.1. Kết quả xử lý ảnh ...................................................................................... 62
4.2. Kết quả thực nghiệm bộ điều khiển bám quỹ đạo .................................... 63
4.3. Kết luận chương 4 .................................................................................... 65
KẾT LUẬN & HƯỚNG PHÁT TRIỂN ............................................................. 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 68
IV
DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1-1. Các hệ tọa độ B&P. .................................................................................... 5
Hình 1-2. Quan hệ giữa góc quay động cơ và tấm phẳng. .......................................... 8
Hình 2-1. Cấu trúc điều khiển hai mạch vòng B&P. ................................................ 18
Hình 2-2. Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái................................................... 19
Hình 2-3. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR tích phân. ....................................... 23
Hình 2-4. Hiện tượng rung (chattering). ................................................................... 26
Hình 2-5. Giải pháp chống rung................................................................................ 26
Hình 2-6. Cấu trúc SMC kết hợp PI cho B&P theo phương X. ................................ 31
Hình 2-7. Đáp ứng đầu ra bộ điều khiển LQR tích phân. ......................................... 32
Hình 2-8. Tín hiệu điều khiển LQR tích phân. ......................................................... 32
Hình 2-9. Đáp ứng đầu ra bộ điều khiển LQR tích phân khi có nhiễu. .................... 33
Hình 2-10. Đáp ứng đầu ra với giá trị đặt thay đổi ................................................... 33
Hình 2-11. Đáp ứng đầu ra bộ điều khiển SMC. ...................................................... 34
Hình 2-12. Tín hiệu điều khiển SMC. ....................................................................... 34
Hình 2-13. Quỹ đạo pha và biến trượt z(t) với SMC. ............................................... 35
Hình 2-14. Quỹ đạo viên bi trong mặt phẳng XY với SMC. .................................... 35
Hình 2-15. Đáp ứng đầu ra bộ điều khiển SMC kết hợp PI. ..................................... 36
Hình 2-16. Tín hiệu điều khiển SMC kết hợp PI. ..................................................... 36
Hình 2-17. Quỹ đạo pha và biến trượt z(t) với SMC kết hợp PI. ............................. 37
Hình 2-18. Quỹ đạo viên bi trong mặt phẳng XY với SMC kết hợp PI. .................. 37
Hình 2-19. Kết quả quan sát nhiễu d(t). .................................................................... 38
Hình 3-1: Mô hình thiết kế B&P nhìn từ trên. .......................................................... 39
Hình 3-2: Mô hình thiết kế B&P nhìn từ phía dưới. ................................................. 39
Hình 3-3: Khớp các-đăng và khớp cầu. .................................................................... 40
Hình 3-4: Mô hình hệ thống Ball & Plate. ................................................................ 40
Hình 3-5: Nguyên lý cảm ứng điện trở. .................................................................... 41
Hình 3-6: Cấu trúc phần cứng hệ thống điều khiển. ................................................. 43
Hình 3-7: Động cơ cơ servo MG995. ....................................................................... 43
V
Hình 3-8: Tín hiệu điều khiển động cơ. .................................................................... 44
Hình 3-9: Bo mạch Arduino Uno R3. ....................................................................... 45
Hình 3-10: Thuật toán chương trình trên Arduino. ................................................... 46
Hình 3-11: Webcam sử dụng trong mô hình............................................................. 48
Hình 3-12: Hệ tọa độ camera. ................................................................................... 50
Hình 3-13: Mô hình màu RGB. ................................................................................ 57
Hình 3-14: Mô hình màu HSV. ................................................................................. 58
Hình 3-15: Thuật toán xác định vị trí viên bi. ........................................................... 59
Hình 3-16: Chương trình Simulink xác định vị trí viên bi........................................ 60
Hình 3-17: Khối phân đoạn ảnh. ............................................................................... 60
Hình 3-18: Khối định vị viên bi. ............................................................................... 60
Hình 4-1: Ảnh RGB chụp tấm phẳng và viên bi ....................................................... 62
Hình 4-2: Biểu diễn trên không gian màu H (hue). .................................................. 62
Hình 4-3: Ảnh sau khi được phân đoạn theo ngưỡng. .............................................. 63
Hình 4-4: Vị trí viên bi theo thời gian. ..................................................................... 63
Hình 4-5: Vị trí viên bi trong mặt phẳng X-Y. ......................................................... 64
Hình 4-6: Quỹ đạo viên bi theo thời gian. ................................................................ 64
Hình 4-7: Quỹ đạo viên bi trong mặt phẳng X-Y. .................................................... 65
VI
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1-1: Các ký hiệu trong mô hình ......................................................................... 8
Bảng 3-1: Thông số kỹ thuật Arduino Uno R3 ......................................................... 45
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 1 ĐK-TĐH 2015B
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khoa học kỹ thuật đạt rất nhiều tiến bộ trong lĩnh vực điều khiển tự
động hóa. Các hệ thống điều khiển được áp dụng các quy luật điều khiển truyền
thống, điều khiển hiện đại, điều khiển thông minh, điều khiển bằng trí tuệ nhân tạo.
Kết quả thu được là hệ thống hoạt động với độ chính xác cao, tính ổn định bền
vững, và thời gian đáp ứng nhanh. Có nhiều thuật toán điều khiển được phát triển
và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như các bộ PID truyền thống, PID
thích nghi, LFFC (Learing Feed –Forword contronl), LQG (Linear Quadratic
Gaussan), điều khiển dự báo MPC, điều khiển trượt SMC, …
Trong lĩnh vực Điều khiển & Tự động hóa, nhóm các bài toán điều khiển cho hệ
thống cân bằng đang rất được quan tâm, trong đó Ball & Plate (B&P) là ví dụ điển
hình. Nhiều phòng thí nghiệm của các trường Đại học trên thế giới được trang bị hệ
thống này để nghiên cứu phát triển và thử nghiệm các thuật toán điều khiển phi
tuyến hiện đại. Hệ thống gồm một tấm phẳng (Plate) thay đổi được độ nghiêng. Một
viên bi (Ball) di chuyển tự do trên tấm. Độ nghiêng của tấm phẳng được điều chỉnh
thông qua các động cơ chấp hành sao cho viên bi giữ được vị trí hoặc lăn theo quỹ
đạo định trước. Một camera được gắn phía trên, chụp các bức ảnh 2D của tấm
phẳng. Vị trí viên bi được xác định chính xác nhờ kỹ thuật xử lý ảnh, đưa tới bộ
điều khiển để điều chỉnh góc nghiêng của tấm phẳng sao cho viên bi lăn theo quỹ
đạo đã định trước.
Do cấu tạo như vậy mà Ball & Plate chứa những yếu tố phi tuyến gây nhiều khó
khăn khi điều khiển. Giải quyết được bài toán này, ta hoàn toàn có thể mở rộng cho
các ứng dụng thực tế như: ổn định hình ảnh cho Camera, hệ thống ổn định trên tàu
biển, …
Chính vì vậy em đã chọn đề tài: "Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball &
Plate" làm nội dung luận văn của mình để có thể ứng dụng những kiến thức lý
thuyết được trang bị khi học tập tại trường vào một bài toán điều khiển thực tế.
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 2 ĐK-TĐH 2015B
2. Các bài báo liên quan đến đề tài
Hệ B&P được xem là phiên bản mở rộng của hệ Ball & Beam (bóng và thanh),
có thể thiết kế theo một số cách khác nhau [1]. Tuy cấu tạo đơn gản, nhưng B&P lại
là một hệ đa biến và có tính phi tuyến điển hình. Vì vậy nó được sử dụng nhiều
trong phòng thí nghiệm để nghiên cứu, thử nghiệm các thuật toán điều khiển [2].
Một số phương pháp dựa trên điều khiển tuyến tính [3], [4] xấp xỉ mô hình của hệ
B&P thành dạng tuyến tính, sau đó áp dụng các thuật toán của điều khiển tuyến tính
như PID, phản hồi trạng thái gán điểm cực, tối ưu LQR, ... và cho đáp ứng đầu ra
khá tốt. Tuy nhiên, do việc xấp xỉ và không tính đến các yếu tố bất định: ma sát
giữa viên bi và mặt phẳng, hiện tượng backlash, tham số không chính xác, ... mà
chất lượng điều khiển của các phương pháp này không được như mong đợi. Điều
khiển phi tuyến cho phép nâng cao chất lượng và khả năng bền vững với các bất
định trong dải rộng vận hành. Trong [5], phương pháp điều khiển cuốn chiếu
(backstepping) được sử dụng, tuy vậy lựa chọn các hàm Lyapunov rất phức tạp và
gây khó khăn cho việc thiết kế. Trong [1], [2] sử dụng điều khiển trượt (Sliding
Mode Control) nâng cao đáng kể khả năng bền vững với các bất định. Tuy nhiên lại
gây ra hiện tượng rung (chattering) trong hệ. Cấu trúc điều khiển cho B&P thường
gồm 2 mạch vòng phản hồi [6]. Trong cùng là mạch vòng điều khiển vị trí cho động
cơ DC Servo, mạch vòng ngoài điều khiển vị trí của viên bi trên đĩa. Đầu ra của bộ
điều khiển vị trí viên bi chính là góc nghiêng của mặt phẳng, được đưa tới làm
lượng đặt cho mạch vòng trong, điều khiển động cơ bám theo lượng đặt này. Tốc độ
của mạch vòng trong được chọn cao hơn mạch vòng ngoài, có thể bỏ qua động học
của nó so với động học của viên bi.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề tài có mục đích nghiên cứu, ứng dụng các bộ điều khiển nâng cao cho bài
toán điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate. Vị trí viên bi trên tấm phẳng
được điều khiển để có thể chuyển động theo những quỹ đạo đặt trước trên tấm
phẳng, với sự xuất hiện của nhiễu và các bất định trong mô hình hệ thống. Thuật
toán được sử dụng là bộ điều khiển LQR tích phân và bộ điều khiển trượt SMC.
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 3 ĐK-TĐH 2015B
4. Nội dung nghiên cứu
Với mục tiêu như vậy, nội dung luận văn được bố cục thành 4 chương như sau:
Chương 1: Mô hình toán hệ Ball & Plate.
Xây dựng mô hình toán học cho hệ Ball & Plate, biểu diễn mối quan hệ giữa
chuyển động của viên bi với lực tác động lên hệ. Mô hình thu sau đó được tuyến
tính hóa xung quanh điểm làm việc để thuận tiện cho thiết kế điều khiển.
Chương 2: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Dựa trên mô hình đã có, tác giả xây dựng và mô phỏng các bộ điều khiển bám
quỹ đạo cho hệ Ball & Plate. Một thuật toán cải tiến kết hợp giữa điều khiển
trượt và PI cho phép nâng cao chất lượng điều khiển và giảm hiện tượng
chattering đặc trưng của bộ điều khiển trượt truyền thống.
Chương 3: Xây dựng thực nghiệm hệ Ball & Plate
Một mô hình phần cứng hệ Ball & Plate được xây dựng cùng với chương trình
xử lý ảnh để xác định vị trí viên bi trên tấm phẳng, cho phép thực thi & kiểm
nghiệm bộ điều khiển đã xây dựng ở phần trước.
Chương 4: Kết quả thực nghiệm
Trình bày các kết quả thực nghiệm cho mô hình phần cứng đã xây dựng. Các kết
quả cho thấy tính đúng đắn của thuật toán đề xuất.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả mô phỏng và thực nghiệm đã cho thấy thuật toán điều khiển cải tiến
cho phép đạt được chất lượng điều khiển bám tốt khi có sự xuất hiện của nhiễu và
bất định trong mô hình hệ thống. Kết quả này hoàn toàn có thể mở rộng để điều
khiển các đối tượng phi tuyến khác trong công nghiệp.
Để hoàn thành được luận văn này, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
thầy GS.TS. Nguyễn Doãn Phước và thầy TS. Nguyễn Văn Chí cùng tập thể các
thầy cô giáo trong bộ môn Điều khiển tự động, Viện Điện, Trường Đại học Bách
Khoa Hà Nội, và bộ môn Đo lường Điều khiển, Khoa Điện tử, trường Đại học Kỹ
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 4 ĐK-TĐH 2015B
thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên đã tận tình chỉ dạy và hướng dẫn em
trong thời gian làm luận văn.
Cuối cùng, với kiến thức và thời gian hạn chế, chắc chắn trong luận văn còn
nhiều nội dung thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý từ các thầy, cô
và bạn đọc để bản luận văn này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2018
Học viên thực hiên
Trần Thiện Dũng
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 5 ĐK-TĐH 2015B
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH TOÁN HỆ BALL & PLATE
1.1. Động học hệ B&P
Động học B&P mô tả mối quan hệ giữa vị trí, hướng của các thành phần trong
hệ thống. Gọi OX
e
Y
e
Z
e
là hệ quy chiếu cố định gắn với giá của cơ cấu, trong đó
trục Z
e
có phương thẳng đứng hướng lên, tâm O đặt tại tâm của khớp các-đăng. Hệ
tọa độ OX
p
Y
p
Z
p
gắn với tấm phẳng, với trục Z
p
vuông góc với tấm phẳng, hướng
lên trên. Khi tấm phẳng nằm ngang, hai hệ tọa độ trùng nhau.
Hình 1-1. Các hệ tọa độ B&P.
Hướng của hệ OX
p
Y
p
Z
p
so với hệ quy chiếu cố định được xác định như sau:
trước tiên, quay hệ quy chiếu cố định quanh trục X
e
một góc θ
x
được hệ quy chiếu
tức thời OX'Y'Z' ứng với ma trận quay [1]:
1 0 0
0
0
cos sin
sin cos
px x x
x x
R
(1.1)
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 6 ĐK-TĐH 2015B
Tiếp tục quay hệ tọa độ hiện thời OX'Y'Z' quanh trục Y' một góc θ
y
, ta được hệ
quy chiếu OX
p
Y
p
Z
p
ứng với ma trận quay:
0
0 1 0
0
cos sin
sin cos
y y
py
y y
R
(1.2)
Tổng hợp các phép quay (1.1) và (1.2) ta được ma trận quay
p
R
mô tả hướng
của hệ OX
p
Y
p
Z
p
đối với hệ OX
e
Y
e
Z
e
:
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0
cos sin
cos sin .
sin cos sin cos
y y
p px py x x
x x y y
R R R
(1.3)
0cos sin
sin sin cos sin cos
cos sin sin cos cos
y y
p x y x x y
x y x x y
R
(1.4)
Đặt vector:
, , ,
T
x y x x
q p p
(1.5)
Giả sử vị trí viên bi nằm trên tấm phẳng là:
0, ,
T
x y
p p
thì tọa độ của nó trong
hệ quy chiếu cố định:
0
.cos
.sin . sin .cos
.sin .cos .sin
x x y
e
p y x x y y x
y x x x y
p p
p p p p
p p
R
(1.6)
Vận tốc chuyển động tịnh tiến của viên bi trong hệ quy chiếu cố định được tính:
e
e
A
p
p q q
q
J
(1.7)
Với ma trận Jacobian:
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 7 ĐK-TĐH 2015B
0 0cos sin
sin sin cos cos sin sin sin cos
cos sin sin sin sin cos cos cos
y x y
A x y x x x y y x x x y
x y x x x y y x x x y
p
p p p
p p p
J
(1.8)
Vận tốc góc của tấm phẳng trong hệ quy chiếu cố định:
, ,
T
p px py pz
có
thể xác định được từ ma trận đối xứng lệch (skew-symetric) [1]:
T
p p
S R R
(1.9)
Trong đó:
0
0
0
pz py
pz px
py px
S
(1.10)
Tính toán (1.9) và so sánh với (1.10) ta được vector vận tốc góc của tấm phẳng:
cos
sin
px x
p py y x
pz y x
(1.11)
Hay:
1 1
0 0 1 0
0 0 0
0 0 0
; cos
sin
p O O x
x
q
J J
(1.12)
Với giả thiết lăn không trượt, vận tốc góc của viên bi trên tấm phẳng là:
1
0
y
p
b x
b
p
p
R
(1.13)
Vận tốc quay của viên bi trong hệ quy chiếu cố định:
2
.
p
b p b b O
q
R J
(1.14)
Trong đó:
Luận văn tốt nghiệp: Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ Ball & Plate
Trần Thiện Dũng 8 ĐK-TĐH 2015B
2
0 1 0
0
0
cos
cos sin sin cos
sin cos sin sin
y b
O x b x y b x
x b x y b x
R
R R
R R
J
(1.15)
Góc nghiêng của tấm phẳng được điều khiển bởi hai động cơ servo gắn ở phía
dưới. Hình 1-2 mô tả quan hệ giữa góc quay của động cơ θ
mx
và góc nghiêng của
tấm phẳng θ
x
theo phương Y
e
.
Hình 1-2. Quan hệ giữa góc quay động cơ và tấm phẳng.
Nếu góc nghiêng của tấm phẳng đủ nhỏ, ta có quan hệ sau:
m
x mx
p
m
y my
p
d
L
d
L
(1.16)
Trong đó: d
m
: chiều dài cánh tay đòn gắn với trục động cơ.
L
p
: chiều dài của tấm phẳng.
Bảng 1-1: Các ký hiệu trong mô hình
Ký hiệu Đơn vị Mô tả
g m/sec
2
Gia tốc trọng trường
R
b
m Bán kính viên bi
